Korelacja: jak czytać współczynnik i czego nie wolno z niego wnioskować

Korelacja to miara tego, jak bardzo dwie zmienne zmieniają się razem. Wyraża ją współczynnik korelacji, liczba z przedziału od -1 do 1: im dalej od zera, tym wyraźniejszy związek, a znak pokazuje jego kierunek.

Korelacja należy do pojęć, które każdy mniej więcej rozumie i prawie każdy gdzieś nadużywa. Idea jest prosta, kłopoty zaczynają się przy tym, co z niej wolno wyciągnąć. Poniżej znajdziesz definicję, przykład z rachunkiem, zasady interpretacji i najczęstsze pułapki.

Co to jest współczynnik korelacji

• Bliski 1: gdy jedna zmienna rośnie, druga zwykle też (związek dodatni).
• Bliski -1: gdy jedna rośnie, druga zwykle maleje (związek ujemny).
• Bliski 0: wartości jednej zmiennej niewiele mówią o wartościach drugiej, przynajmniej w sensie liniowym.

Korelacje 0,8 i -0,8 są równie silne i różnią się tylko zwrotem. Najczęściej używa się dwóch współczynników: r Pearsona dla związków liniowych między zmiennymi ilościowymi oraz rho Spearmana, który działa na rangach i wychwytuje każdy związek monotoniczny. Spearman sprawdza się przy danych porządkowych, wartościach odstających i zależnościach, które rosną, ale nie po prostej.

Jak liczyć korelację: przykład krok po kroku

Osiem osób, każda uczyła się do sprawdzianu przez inną liczbę godzin (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) i uzyskała wynik w punktach: 42, 55, 48, 63, 70, 66, 81, 77. Przykład jest ilustracyjny, dane są wymyślone.

1. Średnia godzin to 4,5, średni wynik to 62,75.
2. Dla każdej osoby liczysz odchylenia od średnich i mnożysz je przez siebie. Suma tych iloczynów wynosi 218.
3. Suma kwadratów odchyleń godzin to 42, a wyników 1307,5.
4. r = 218 / pierwiastek(42 × 1307,5) = 218 / 234,3 ≈ 0,93.

Wynik oznacza bardzo silny dodatni związek liniowy. Spearman dla tych danych wynosi około 0,93, bo kolejność godzin i kolejność wyników niemal się pokrywają. Podniesienie r do kwadratu daje współczynnik determinacji: 0,93² ≈ 0,87, czyli w tej próbie około 87% zróżnicowania wyników łączy się ze zróżnicowaniem czasu nauki. Dodajmy, że przy ośmiu osobach taka liczba jest bardzo niestabilna i wymaga przedziału ufności.

Jak interpretować wynik: czy r = 0,3 to dużo

Najczęściej przywoływane progi pochodzą od Jacoba Cohena: około 0,1 to związek słaby, 0,3 umiarkowany, 0,5 silny. Traktuj je jako regułę kciuka, bo żadne prawo za nimi nie stoi. Gignac i Szodorai (2016) przejrzeli ponad 700 korelacji z blisko 100 metaanaliz w psychologii różnic indywidualnych i zaproponowali niższe punkty odniesienia: 0,10, 0,20 i 0,30. W badaniach nad osobowością korelacja 0,30 jest więc nierzadko dużym wynikiem, a w kalibracji dwóch wag kuchennych 0,90 byłoby rozczarowaniem.

Dlatego współczynnik czyta się razem z wielkością efektu, wielkością próby i celem analizy. Przy wielkiej próbie słaba korelacja bywa istotna statystycznie, choć praktycznie bez znaczenia. Przy małej próbie silna może być dziełem przypadku.

Korelacja a przyczynowość

To najważniejsze zdanie na tej stronie: korelacja nie dowodzi przyczynowości. Gdy A i B idą w parze, możliwości jest kilka: A wpływa na B, B wpływa na A, oba są skutkiem trzeciego czynnika (sprzedaż lodów i utonięcia rosną razem, bo obie wiążą się z upałem) albo to zbieg okoliczności, zwłaszcza po przeszukaniu wielu zmiennych naraz. Z samego współczynnika tych scenariuszy nie rozróżnisz. Potrzebny jest eksperyment, kontrola zmiennych zakłócających albo ustalenie kolejności zdarzeń w czasie.

Najczęstsze błędy w czytaniu korelacji

• Brak wykresu. Anscombe (1973) pokazał cztery zbiory danych o niemal identycznym r, a zupełnie różnych wykresach rozrzutu. Zawsze najpierw spójrz na punkty.
• Wartości odstające. Jedna skrajna obserwacja potrafi podnieść lub zniszczyć r Pearsona.
• Ograniczony zakres. Jeśli badasz tylko osoby z wąskiego przedziału (np. wyłącznie przyjętych kandydatów), korelacja wypada niższa niż w pełnej populacji.
• Związek krzywoliniowy. Silna zależność w kształcie litery U daje r bliskie 0.
• Mylenie korelacji ze zgodnością. Dwie oceny mogą korelować na poziomie 0,9, choć jedna jest stale o 20 punktów wyższa.

Gdzie korelacja ma znaczenie w praktyce

W psychometrii korelacja jest codziennym narzędziem. To na niej opiera się znaczna część dowodów na trafność: związek z zewnętrznym kryterium, zbieżność z innymi narzędziami mierzącymi to samo i niska korelacja z tym, z czym test nie powinien się mieszać. Podobnie liczy się rzetelność test-retest, czyli korelację wyników tych samych osób w dwóch terminach.

Pracujesz z danymi i chcesz mieć pewność, że twoje korelacje znaczą to, co im przypisujesz? Odezwij się, przejdę z tobą przez interpretację.